2x2 の逆行列 $A^{-1}$を求める

逆行列

逆行列$A^{-1}$は$E = AA^{-1}$を満たす。

$A = \left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right)$ とおく。

$ \left(\begin{array}{cc|cc} a & b & 1 & 0\\ c & d & 0 & 1 \end{array}\right)$

を変形して

$ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & ■ & ◯\\ 0 & 1 & △ & ★ \end{array}\right)$

の形にする。

$1行目 /= b$、$2行目 /= d$

$ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\ \frac{c}{d} & 1 & 0 & \frac{1}{d} \end{array}\right)$

$2行目 -= 1行目 \times -\frac{c}{d}$

$ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\ 0 & \frac{ad - bc}{ad} & -\frac{c}{ad} & \frac{1}{d} \end{array}\right)$

$2行目 \times = \frac{ad}{ad-bc}$

$ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & \frac{b}{a} & \frac{1}{a} & 0\\ 0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right)$

$1行目 -= 2行目 \times (-\frac{b}{a})$

$ \left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & \frac{d}{ad-bc} & -\frac{b}{ad-bc}\\ 0 & 1 & -\frac{c}{ad-bc} & \frac{a}{ad-bc} \end{array}\right)\\ = \frac{1}{ad-bc} \left(\begin{array}{cc} d & -b\\ -c & a \end{array}\right)$