\begin{eqnarray*} \tan{x} &=& \frac{\sin{x}}{\cos{x}}\\ \tan 'x &=& \frac{\sin 'x \cos x - \sin x \cos 'x}{\cos^{2} x}\\ &=& \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos^{2} x}\\ &=& \frac{1}{\cos^{2} x} \end{eqnarray*}

log_a x の微分

\begin{eqnarray*} y &=& a^{x}\\ x &=& \log_{a} y\\ x &=& \frac{\log y}{\log a}\\ dx &=& \frac{\frac{1}{y}\log a}{\log^{2} a} dy\\ dx &=& \frac{1}{y \log a} dy\\ \frac{dy}{dx} &=& y\log a\\ \frac{dy}{dx} &=& a^{x} \log a \end{eqnarray*}

三角関数の逆関数の微分

積の微分

\begin{eqnarray*} y&=&\log x\\ e^{y} &=& x\\ e^{y} dy &=& dx\\ \frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{e^{y}}\\ &=& \frac{1}{x} \end{eqnarray*}