三角関数の逆関数の微分

Arcsin

\begin{eqnarray*} y &=& \sin^{-1}(x)\\
x &=& \sin y\\
dx &=& \cos y dy\\ dx &=& \sqrt{1- \sin^{2} y} dy\\
dx &=& \sqrt{1-x^{2}} dy\\
\frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \end{eqnarray*}

Arccos

\begin{eqnarray*} y &=& \cos^{-1}(x)\\
x &=& \cos y\\
dx &=& -\sin y dy\\ dx &=& -\sqrt{1- \cos^{2} y} dy\\
dx &=& -\sqrt{1-x^{2}} dy\\
\frac{dy}{dx} &=& -\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \end{eqnarray*}

Arctan

\begin{eqnarray*} y &=& \tan^{-1}(x)\\
x &=& \tan y\\
dx &=& \frac{dy}{\cos^{2} y}\\
dx &=& (1 + \tan^{2} y) dy\\
dx &=& (1 + x^{2}) dy\\
\frac{dy}{dx} &=& \frac{1}{1+x^{2}}
\end{eqnarray*}