マクローリン展開

マクローリン展開

\begin{eqnarray*}
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^{n} \end{eqnarray*}

$\sin x$ の展開

\begin{eqnarray*}
\sin x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \sin^{(n)} }{n!} x^{n}\\
&=& \frac{\sin 0}{0!}x^{0} + \frac{\cos 0}{1!}x^{1} + \frac{-\sin 0}{2!}x^{2} + \frac{\cos 0}{3!}x^{3} + \cdots\\
&=& \frac{x^{1}}{1!} - \frac{x^{3}}{3!} + \cdots\\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \end{eqnarray*}

$\cos x$ の展開

\begin{eqnarray*}
\cos x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ \sin^{(n)} }{n!} x^{n}\\
&=& \frac{\cos 0}{0!}x^{0} + \frac{-\sin 0}{1!}x^{1} + \frac{-\cos 0}{2!}x^{2} + \frac{\sin 0}{3!}x^{3} + \cdots\\ &=& \frac{x^{0}}{0!} - \frac{x^{2}}{2!} + \cdots\\
&=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!} x^{2n} \end{eqnarray*}

$e^{x}$ の展開

$e^{x}$は何回微分しても$e^{x}$。

$e^{0} = 1$なので、

\begin{eqnarray*}
e^{x} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{ x^{n} }{n!} \end{eqnarray*}