他期間計画問題
テスト勉強も兼ねてまとめてみる。
問題
2種類の原料$A, B$を加工して2種類の製品$\textrm{I, II}$を生産している工場が3ヶ月の生産計画を立てる。
制約条件1
- 1製品あたりに使用する原料
| $\textrm{I}$ | $\textrm{II}$ | |
|---|---|---|
| $A$ | 2 | 7 |
| $B$ | 5 | 3 |
- 原料の利用可能量
| $\textrm{A}$ | $\textrm{B}$ | |
|---|---|---|
| 1月目 | 920 | 970 |
| 2月目 | 750 | 600 |
| 3月目 | 500 | 480 |
$t$月目の製品$\textrm{I}$の生産量を変数$x_{1t}$とし、 $t$月目の製品$\textrm{II}$の生産量を変数$x_{2t}$とするとき、
\begin{eqnarray} 2x_{11} + 7x_{21} &\leqq& 920\\ 5x_{11} + 3x_{21} &\leqq& 790\\ 2x_{12} + 7x_{22} &\leqq& 750\\ 5x_{12} + 3x_{22} &\leqq& 600\\ 2x_{13} + 7x_{23} &\leqq& 500\\ 5x_{13} + 3x_{23} &\leqq& 480 \end{eqnarray}
制約条件2
- 製品の出荷量
| $\textrm{I}$ | $\textrm{II}$ | |
|---|---|---|
| 1月目 | 30 | 20 |
| 2月目 | 60 | 50 |
| 3月目 | 80 | 90 |
$t$月目から翌月に持ち越す製品$\textrm{I}, \textrm{II}$の在庫を$y_{1t}, y_{2t}$とすれば、
\begin{eqnarray} x_{11} &&- y_{11} &=& 30\\ x_{21} &&- y_{21} &=& 20\\ x_{12} &+y_{11}&-y_{12} &=& 60\\ x_{22} &+y_{21}&-y_{22} &=& 50\\ x_{13} &+ y_{12} &&=& 80\\ x_{23} &+ y_{22} &&=& 90 \end{eqnarray}
1月目は$生産量-在庫量 = 出荷量$。
2月目は$生産量 + 1月目の在庫量 - 在庫量 = 出荷量$
3月目は$生産量 + 2月目の在庫量 = 出荷量$(3月目は在庫を有しない)
非負条件
生産量と在庫量は0以上である。
\begin{eqnarray} x_{11}, &x_{21}, &x_{12}, &x_{22}, &x_{13}, x_{23} \geqq 0\\ &y_{11}, &y_{21}, &y_{12}, &y_{22} \geqq 0 \end{eqnarray}
生産コストと在庫コスト
- 生産コストと在庫コスト
| $\textrm{I}$ | $\textrm{II}$ | |
|---|---|---|
| 生産コスト | 75 | 50 |
| 在庫コスト | 8 | 7 |
\begin{eqnarray} 75x_{11} + 50x_{21} + 8y_{11} + 7y_{21} +75x_{12} + 50x_{22} + 8y_{12} + 7y_{22} +75x_{13} + 50x_{23} \to 最小 \end{eqnarray}
1月目の生産コスト(I)* 1月目の生産量(I)
+ 1月目の生産コスト(II)* 1月目の生産量(II)
+ 1月目の在庫コスト(I)* 1月目の在庫量(I)
+ 1月目の在庫コスト(II)* 1月目の在庫量(II)
+ 2月目の生産コスト(I)* 2月目の生産量(I)
+ 2月目の生産コスト(II)* 2月目の生産量(II)
+ 2月目の在庫コスト(I)* 2月目の在庫量(I)
+ 2月目の在庫コスト(II)* 2月目の在庫量(II)
+ 3月目の生産コスト(I)* 3月目の生産量(I)
+ 3月目の生産コスト(II)* 3月目の生産量(II)
→ 最小
ということ。
