単振動 高校物理

物理が分からない（高校で物理を取っていないため）物理系学科の大学生ですが，単振動についてまとめてみました．

単振動の運動方程式は，

\[ F=-kx \]

と表されます．

円運動を横から見たようなものが単振動なので，

振幅（円の半径）を$A$，角振動数を$\omega$，時間を$t$とすると，

角度を$\omega t$と表すことができ，

変位$x$は，

\[x = A\sin{\omega t}\]

となります．

変位$x$を時間$t$で微分すると速度$v$がでてきます．

（高校生でも数学Ⅱか数学Ⅲができると公式を覚えてなくても導くことができるからいいですね．文科省的にはよろしくないみたいですが．）

\[v = \frac{dx}{dt}=\omega r \cos{\omega t}\]

さらに，速度$v$を時間で微分すると加速度$a$がでてきます．

\[a = \frac{dv}{dt}=-A \omega^2 \sin{\omega t}\]

変位$x$が$x=A\sin{\omega t}$となっているので，

代入して，

\[a = -\omega^2 x\]

とできます．

次に，角振動数$\omega$を導きます．

角振動数$\omega$は単振動の運動方程式$-kx=ma$を変形することによって導くことができます．

加速度$a$が$-\omega^2x$だったので，

運動方程式に代入し，

\[ -kx=m(-\omega^2x) \]

となります．

$x$と負を消去し，

\[k=m\omega^2\]

移行して，

\[\omega^2=\frac{k}{m}\]

両辺を二分の一乗して，

\[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\]

となります．

周期$T$は1周期あたりの時間で，

円運動で考えると，

時間は円周1周の長さは$2\pi r$÷速度$v$は$r\omega$として表すことができるので，

\[ T = \frac{2\pi r}{r\omega}=\frac{2\pi}{\omega} \]

となります．

これは，単振動でも同じなので，$\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$を代入すると，周期$T$は，

\[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\]

となります．